Propriétés algébriques

Propriété

Soit \(f\)  une fonction continue sur un intervalle \(I\) . Soit \(a\) et \(b\) deux réels de  \(I\) . Alors on a :

• \(\displaystyle \int_a^a f(x)\text d x =0\)
  
• \(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x = \displaystyle -\int_b^a f(x)\text d x\) . 
  

Démonstration

Soit \(f\)  une fonction continue sur un intervalle \(I\) . Soit \(a\) et \(b\) deux réels de  \(I\) .

Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a~;~b]\) . Alors :

• \(\displaystyle \int_a^a f(x)\text d x =F(a)-F(a)=0\)
  
• \(\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x =F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))= \displaystyle -\int_b^a f(x)\text d x\) .
  

Propriété Linéarité

Soit \(f\)  une fonction continue sur un intervalle \(I\) . Soit \(a\) et \(b\) deux réels de  \(I\) . Alors, on a :

• \(\displaystyle \int_a^b (f(x)+g(x))\text d x = \displaystyle \int_a^b f(x)\text d x + \displaystyle \int_a^b g(x)\text d x\)
  
• pour tout réel \(k\) , \(\displaystyle \int_a^b kf(x)\text d x = k \displaystyle \int_a^b f(x)\text d x\)
  

Remarque  

Cette propriété fait écho à celle des primitives : compatibilité avec la somme et la multiplication par un réel.